《平面向量的運算》平面向量及其應(yīng)用PPT(第3課時向量的數(shù)乘運算)
第一部分內(nèi)容：學習目標
理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律
掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線
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平面向量的運算PPT，第二部分內(nèi)容：自主學習
問題導學
預(yù)習教材P13－P16的內(nèi)容，思考以下問題：
1．向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？
2．向量數(shù)乘運算滿足哪三條運算律？
3．向量共線定理是怎樣表述的？
4．向量的線性運算是指的哪三種運算？
新知初探
1．向量的數(shù)乘的定義
一般地，規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個_______，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作_______，它的長度與方向規(guī)定如下：
(1)|λa|＝_______．
(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向_______；當λ＜0時，λa的方向與a的方向_______；當λ＝0時，λa＝_______．
名師點撥
λ是實數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義．
2．向量數(shù)乘的運算律
設(shè)λ，μ為實數(shù)，那么：
(1)λ(μa)＝_______．
(2)(λ＋μ)a＝______________．
(3)λ(a＋b)＝______________．
3．向量的線性運算及向量共線定理
(1)向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的___________．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．
(2)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使_______．
名師點撥
若將定理中的條件a≠0去掉，即當a＝0時，顯然a與b共線．
(1)若b≠0，則不存在實數(shù)λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，則對任意實數(shù)λ，都有b＝λa.
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平面向量的運算PPT，第三部分內(nèi)容：自我檢測
1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)實數(shù)λ與向量a的積還是向量．( )
(2)3a與a的方向相同，－3a與a的方向相反．( )
(3)若ma＝mb，則a＝b.( )
(4)向量共線定理中，條件a≠0可以去掉．( )
2. 4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a(chǎn)－2b B．a(chǎn)
C．a(chǎn)－6b D．a(chǎn)－8b
3.若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是( )
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝－2b
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平面向量的運算PPT，第四部分內(nèi)容：講練互動
向量的線性運算
(1)計算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）.
(2)設(shè)向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．
規(guī)律方法
向量線性運算的基本方法
(1)類比方法：向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算．例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．
(2)方程方法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．
向量共線定理及其應(yīng)用
已知非零向量e1，e2不共線．
(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點共線；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．
規(guī)律方法
向量共線定理的應(yīng)用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合．例如，若AB→＝λAC→，則AB→與AC→共線，又AB→與AC→有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．
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平面向量的運算PPT，第五部分內(nèi)容：達標反饋
1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a(chǎn)－b
2．若點O為平行四邊形ABCD的中心，AB→＝2e1，BC→＝3e2，則32e2－e1＝( )
A.BO→ B.AO→
C.CO→ D.DO→
3．已知e1，e2是兩個不共線的向量，若AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，求證A，B，D三點共線．
證明：因為CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，
所以BD→＝CD→－CB→＝e1－4e2.
又AB→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以AB→＝2BD→，所以AB→與BD→共線．
因為AB與BD有交點B，所以A，B，D三點共線．
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