《復(fù)數(shù)的三角表示》復(fù)數(shù)PPT課件(復(fù)數(shù)的三角表示式)
第一部分內(nèi)容:內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)
1.通過復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角表示.
2.了解復(fù)數(shù)的輻角及輻角的主值的含義.
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系.
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復(fù)數(shù)的三角表示PPT,第二部分內(nèi)容:課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識(shí)點(diǎn) 復(fù)數(shù)的三角表示式
預(yù)習(xí)教材,思考問題
(1)如圖,角θ的終邊上一點(diǎn)P(x,y),設(shè)P到原點(diǎn)O的距離|OP|=r,那么怎樣用角θ和r表示x,y?
(2)我們知道,復(fù)數(shù)可以用a+bi(a,b∈R)的形式來表示,復(fù)數(shù)a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng),與平面向量OZ→=(a,b)也是一一對(duì)應(yīng)的,如圖,你能用向量OZ→的模r和以x軸的非負(fù)半軸為始邊,以向量OZ→所在射線(射線OZ)為終邊的角θ來表示復(fù)數(shù)z嗎?
知識(shí)梳理 (1)復(fù)數(shù)的輻角:以x軸的非負(fù)半軸為始邊,____________為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角.我們規(guī)定在______范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值,通常記作arg z ,即______ .
(2)復(fù)數(shù)的三角形式:一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成______的形式.其中,r是復(fù)數(shù)的______;θ是復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角.______ 叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來,______ 叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡稱代數(shù)形式.
(3)兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件:兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的______與______分別相等.
[自主檢測]
1.復(fù)數(shù)1+3i化成三角形式,正確的是( )
A.2(cos 2π3+isin 2π3)
B.2(cos π3+isin π3)
C.2(cos 5π3+isin 5π3)
D.2(cos 11π6+isin 11π6)
2.復(fù)數(shù)z=-sin 100°+icos 100°的輻角主值是( )
A.80° B.100°
C.190° D.260°
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復(fù)數(shù)的三角表示PPT,第三部分內(nèi)容:課堂 • 互動(dòng)探究
探究一 復(fù)數(shù)的三角形式
[例1] 下列復(fù)數(shù)是不是三角形式?若不是,把它們表示成三角形式.
(1) z1= cos 60°+isin 30° ;
(2) z2=2(cos π5-isin π5);
(3) z3=-sin θ+icos θ .
(2)由“加號(hào)連”知,不是三角形式.復(fù)平面上的點(diǎn)Z2(2cos π5,-2sin π5)在第四象限,不需要改變?nèi)呛瘮?shù)名稱,可用誘導(dǎo)公式“2π-π5”或“-π5”變換到第四象限.
所以z2=2(cos π5-isin π5)=2[cos(-π5)+isin (-π5)]或z2=2(cos π5-isin π5)=2[(cos(2π-π5)+isin (2π-π5)]=2(cos 9π5+isin9π5),考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性,復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一.
(3)由“余弦前”知,不是三角形式.復(fù)平面上的點(diǎn)Z3(-sin θ,cos θ)在第二象限(假定θ為銳角),需要改變?nèi)呛瘮?shù)名稱,可用誘導(dǎo)公式“π2+θ”將θ變換到第二象限.
所以z3= -sin θ+icos θ=cos (π2+θ)+isin (π2+θ) .
方法提升
復(fù)數(shù)三角形式的判斷依據(jù)和變形步驟
(1)判斷依據(jù):三角形式的結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.
(2)變形步驟:首先確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限(此處可假定θ為銳角),其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱,最后確定輻角.此步驟可簡稱為“定點(diǎn)→定名→定角”.
探究二 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式
[例2] 畫出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量,指出它們的模和輻角的主值,并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式:
(1)3i;(2)-10;(3)2-2i ;(4) -1+3i.
(2)復(fù)數(shù)-10對(duì)應(yīng)的向量如圖所示,
則模r=10,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上,所以arg(-10)=π.所以-10=10(cos π+isin π).
方法提升
復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟
(1)先求復(fù)數(shù)的模;
(2)決定輻角所在的象限;
(3)根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值);
(4)寫出復(fù)數(shù)的三角形式.
探究三 把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式
[例3] 分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角,并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式:
(1)10(cos π3+isinπ3);
(2)14(cos 5π6+isin5π6);
(3)2(cos 45°-isin 45°).
方法提升
1.類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時(shí),注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.
2.由三角形式表示成代數(shù)形式,直接求出角的三角函數(shù)值,化簡即可.
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復(fù)數(shù)的三角表示PPT,第四部分內(nèi)容:課后 • 素養(yǎng)培優(yōu)
復(fù)數(shù)的三角形式
邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
在求復(fù)數(shù)的三角形式時(shí),需要進(jìn)行復(fù)雜的三角恒等變換,在變換時(shí)一定要根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連,確定判斷的依據(jù)和變形的方向.只要角的范圍在[0,2π]即可.
[素養(yǎng)提升] 1.在表示復(fù)數(shù)的三角形式時(shí),要嚴(yán)格套用復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.
2.注意復(fù)數(shù)輻角的主值范圍[0,2π).
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