《函數(shù)的應用》指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：課標闡釋
1.能運用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)來解決某些簡單的實際問題.
2.了解函數(shù)模型在社會生活及科研中的廣泛應用.
3.培養(yǎng)應用數(shù)學的意識以及分析問題、解決問題的能力.
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函數(shù)的應用PPT，第二部分內(nèi)容：課前篇自主預習
一、幾種常見的函數(shù)模型
函數(shù)模型 函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)
二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
與指數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)
與對數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)
與冪函數(shù)相關的模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0)
二、三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較
1.填空.
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的單調(diào)性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù)
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn)
圖像的變化 隨x值增大,圖像與y軸接近平行 隨x值增大,圖像與x軸接近平行 隨n值變化而不同
2.做一做:某同學在一次數(shù)學實驗中,獲得了如下一組數(shù)據(jù):
則x,y的函數(shù)關系最接近(其中a,b為待定系數(shù))函數(shù)( )
A.y=a+bx
B.y=bx
C.y=ax2+b
答案:B
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函數(shù)的應用PPT，第三部分內(nèi)容：課堂篇探究學習
指數(shù)函數(shù)模型
例1諾貝爾獎發(fā)放方式為:每年一發(fā),把獎金總額平均分成6份,獎勵給分別在物理、化學、文學、經(jīng)濟學、生理學和醫(yī)學、和平上為人類做出最有益貢獻的人,每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半,另一半利息作基金總額,以便保證獎金數(shù)逐年增加.假設基金平均年利率為r=6.24%.資料顯示:2015年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約為19 800萬美元.設f(x)表示第x(x∈N+)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額.(2015年記為f(1),2016年記為f(2),…,依次類推)
(1)用f(1)表示f(2)與f(3),并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達式;
(2)試根據(jù)f(x)的表達式判斷網(wǎng)上一則新聞“2025年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真,并說明理由.(參考數(shù)據(jù):1.031 29≈1.32)
分析:指數(shù)型函數(shù)模型的應用是高考的一個主要內(nèi)容,常與增長率相結(jié)合進行考查.在實際問題中,有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數(shù)型函數(shù)模型來表示.通�？杀硎緸閥=a(1+p)x(其中a為原來的基礎數(shù),p為增長率,x為時間)的形式.
解:(1)由題意知f(2)=f(1)(1+6.24%)- f(1)·6.24%=f(1)×(1+3.12%),
f(3)=f(2)×(1+6.24%)- f(2)×6.24%
=f(2)×(1+3.12%)=f(1)×(1+3.12%)2,
∴f(x)=19 800(1+3.12%)x-1(x∈N+).
(2)2024年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額為f(10)=19 800(1+3.12%)9≈26 136,
故2025年度諾貝爾獎各項獎金為 f(10)·6.24%≈136(萬美元),與150萬美元相比少了約14萬美元,是假新聞.
反思感悟指數(shù)函數(shù)模型的應用
指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)經(jīng)復合可以得到指數(shù)型函數(shù),指數(shù)型函數(shù)的函數(shù)值變化較快,指數(shù)型函數(shù)函數(shù)值的增長速度隨底數(shù)不同而不同,并且根據(jù)已知數(shù)據(jù)的關系能建立起模型,進而能對未知進行推斷.
變式訓練1某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬,如果年自然增長率為1.2%,試解答下面的問題.
(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬)與年數(shù)x(年)的函數(shù)關系式;
(2)計算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬);
(3)計算大約多少年后該城市人口總數(shù)將達到120萬(精確到1年)((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21).
解:(1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)(萬);
2年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2(萬);
3年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)3(萬);
該城市人口總數(shù)y(萬)與年數(shù)x(年)的函數(shù)關系式為y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)10≈100×1.127≈112.7(萬).
(3)令y=120,則有100×(1+1.2%)x=120,
解方程可得x≈16,
即大約16年后該城市人口總數(shù)將達到120萬.
對數(shù)函數(shù)模型
例2 某地一漁場的水質(zhì)受到了污染.漁場的工作人員對水質(zhì)檢測后,決定往水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì).已知每投放質(zhì)量為m(m∈N+)個單位的藥劑后,經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y=mf(x),其中f(x)={■(log_3 "(" x+4")(" 0<x≤5")," @6/(x"-" 2) "(" x>5")," )┤當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)時稱為有效凈化;當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時稱為最佳凈化.
(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為m=6,那么漁場的水質(zhì)達到有效凈化一共可持續(xù)幾天?
(2)如果投放的藥劑質(zhì)量為m,為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內(nèi)的漁場的水質(zhì)達到最佳凈化,試確定應該投放的藥劑質(zhì)量m的取值范圍.
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函數(shù)的應用PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
因未弄清函數(shù)類型而致誤
典例 某林區(qū)2018年木材蓄積量為200萬立方米,由于采取了封山育林、嚴禁砍伐等措施,使木材蓄積量的年平均增長率達到5%.
(1)若經(jīng)過x年后,該林區(qū)的木材蓄積量為y萬立方米,求y=f(x)的表達式,并求此函數(shù)的定義域;
(2)求經(jīng)過多少年后,林區(qū)的木材蓄積量能達到300萬立方米.
錯解:(1)現(xiàn)有木材蓄積量為200萬立方米,經(jīng)過1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);
經(jīng)過2年后木材蓄積量為200(1+5%×2);
經(jīng)過x年后木材蓄積量為200(1+5%·x).
所以y=f(x)=200(1+5%·x)(x∈N+).
(2)設x年后木材蓄積量為300萬立方米,
正解:(1)現(xiàn)有木材蓄積量為200萬立方米.
經(jīng)過1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);
經(jīng)過2年后木材蓄積量為200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;
所以經(jīng)過x年后木材蓄積量為200(1+5%)x.
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N+).
(2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值驗證可知8<x<9,所以取x=9,即經(jīng)過9年后,林區(qū)的木材蓄積量能達到300萬立方米.
防范措施對此類問題首先要弄清題目,木材蓄積量年平均增長問題實質(zhì)上為一指數(shù)函數(shù)類模型.若初始蓄積量為a,年平均增長率為b%,則x年后木材蓄積量y與x的關系為y=a(1+b%)x,x∈N+.另外還有儲蓄等問題也屬于指數(shù)型函數(shù)模型.因此大家在學習過程中多積累實際素材,每一類實際問題都有其自身的規(guī)律特點.
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函數(shù)的應用PPT，第五部分內(nèi)容：當堂檢測
1.(多選)某種商品2018年提價25%,2020年要降價,但不能低于原價,則可以降價( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
答案:BCD
2.某研究小組在一項實驗中獲得一組關于y,t之間的數(shù)據(jù),將其整理后得到如下的圖像,下列函數(shù)中,最能近似刻畫y與t關系的是( )
A.y=2t
B.y=2t2
C.y=t3
D.y=log2t
答案:D
解析:此曲線符合對數(shù)函數(shù)的變化趨勢.
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