《函數(shù)的單調性》函數(shù)的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義.
2.理解函數(shù)單調性的含義,掌握利用定義證明函數(shù)的單調性的方法.
3.能夠利用定義或圖象求函數(shù)的單調區(qū)間,能夠利用函數(shù)的單調性解決有關問題.
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函數(shù)的單調性PPT，第二部分內容：自主預習
一、增函數(shù)和減函數(shù)的定義
1.(1)畫出函數(shù)f(x)=x,f(x)=x2的圖象,觀察它們的圖象,圖象的升降情況如何?
提示:根據(jù)列表法的三個步驟:列表→描點→連線得兩函數(shù)的圖象如下.
函數(shù)f(x)=x的圖象由左到右是上升的;函數(shù)f(x)=x2的圖象在y軸左側是下降的,在y軸右側是上升的;函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側是上升的,在y軸右側是下降的.
(2)如何利用函數(shù)解析式f(x)=x2來描述隨著自變量x值的變化,函數(shù)值f(x)的變化情況?
提示:在(-∞,0]上,隨著自變量x值的增大,函數(shù)值f(x)逐漸減小;在(0,+∞)上,隨著自變量x值的增大,函數(shù)值f(x)逐漸增大.
(3)用x與f(x)的變化來描述當x在給定區(qū)間從小到大取值時,函數(shù)值依次增大?如果是函數(shù)值依次減小呢?
提示:在給定區(qū)間上,∀x1,x2,且x1<x2,則f(x1)<f(x2).在給定區(qū)間上,∀x1,x2且x1<x2,則f(x1)>f(x2).
(4)增函數(shù)的定義中,把“當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)”改為“當x1>x2時,都有f(x1)>f(x2)”,這樣可以嗎?
提示:可以.增函數(shù)的定義:由于當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),即都是相同的不等號“<”,步調一致;“當x1>x2時,都有f(x1)>f(x2)”也是相同的不等號“>”,步調也一致.因此我們可以簡稱為:步調一致增函數(shù).
2.填表
3.做一做
(1)f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是___________.(填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”)
(2)f(x)=x2-1在區(qū)間[0,+∞)上是___________.(填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”)
答案:(1)減函數(shù) (2)增函數(shù)
二、函數(shù)的單調性與單調區(qū)間
1.(1)“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)”與“函數(shù)y=f(x)的單調遞增區(qū)間為D”一樣嗎?
提示:不一樣.“函數(shù)y=f(x)的單調遞增區(qū)間為D”,說明區(qū)間D是函數(shù)y=f(x)的所有單調遞增區(qū)間;而“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)”,只要函數(shù)在區(qū)間D上遞增即可,區(qū)間D是整個單調增區(qū)間的子集.
(2)函數(shù)y= 的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),圖象在第一、三象限內分別是單調遞減的,能否說函數(shù)y= 的單調遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞)?
提示:不能.不連續(xù)的單調區(qū)間必須分開寫,中間用“,”或“和”連接,不能用符號“∪”連接.
(3)寫一個函數(shù)的單調區(qū)間時,是否只能寫成開區(qū)間?
提示:不是.對于某一個點而言,由于它的函數(shù)值是一個確定的常數(shù),無單調性可言,因此在寫單調區(qū)間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但對于某些不在定義域內的區(qū)間端點,書寫時必須去掉,因此,書寫單調區(qū)間時,不妨約定“能閉則閉,需開則開”.
2.填空
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調遞增(或單調遞減),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調遞增(或減)區(qū)間.
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函數(shù)的單調性PPT，第三部分內容：探究學習
確定函數(shù)的單調區(qū)間
例1 求下列函數(shù)的單調區(qū)間,并指出其在單調區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù):
(1)y=3x-2;(2)y=-1/x.
分析:若函數(shù)為我們熟悉的函數(shù),則直接給出單調區(qū)間,否則應先畫出函數(shù)的草圖,再結合圖象“升降”給出單調區(qū)間.
解:(1)函數(shù)y=3x-2的單調區(qū)間為R,其在R上是增函數(shù).
(2)函數(shù)y=- 的單調區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均為增函數(shù).
反思感悟 1.函數(shù)單調性的幾何意義:在單調區(qū)間上,若函數(shù)的圖象“上升”,則函數(shù)為增區(qū)間;若函數(shù)的圖象“下降”,則函數(shù)為減區(qū)間.因此借助于函數(shù)圖象來求函數(shù)的單調區(qū)間是直觀且有效的一種方法.除這種方法外,求單調區(qū)間時還可以使用定義法,也就是由增函數(shù)、減函數(shù)的定義求單調區(qū)間.求出單調區(qū)間后,若單調區(qū)間不唯一,中間可用“,”隔開.
2.一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調性:
(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的單調性由系數(shù)k決定:當k>0時,該函數(shù)在R上是增函數(shù);當k<0時,該函數(shù)在R上是減函數(shù).
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函數(shù)的單調性PPT，第四部分內容：思維辨析
因混淆“單調區(qū)間”和“在區(qū)間上單調”兩個概念而致錯
典例 若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調遞減區(qū)間是(-∞,4],則實數(shù)a的取值集合是_________.
錯解函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=1-a,由于函數(shù)在區(qū)間(-∞,4]上單調遞減,因此1-a≥4,即a≤-3.故實數(shù)a的取值集合為{a|a≤-3}.
以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:錯解中把單調區(qū)間誤認為是在區(qū)間上單調.
正解:因為函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(-∞,4],且函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故實數(shù)a的取值集合為{-3}.
答案:{-3}
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函數(shù)的單調性PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.若函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(1)<f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在(0,+∞)內( )
A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)
C.先增后減 D.單調性不能確定
解析:1,2,3不是任意取的值,不能作為判斷函數(shù)單調性的依據(jù).
答案:D
2.函數(shù)y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的所有單調遞減區(qū)間為( )
A.[-4,-2] B.[1,4]
C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]
答案:C
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