《均值不等式及其應(yīng)用》等式與不等式PPT課件(第2課時均值不等式的應(yīng)用)
第一部分內(nèi)容：學 習 目 標
1.熟練掌握利用均值不等式求函數(shù)的最值問題．(重點)
2．會用均值不等式求解實際應(yīng)用題．(難點)
核 心 素 養(yǎng)
1.通過均值不等式求最值，提升數(shù)學運算素養(yǎng)．
2．借助均值不等式在實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng).
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均值不等式及其應(yīng)用PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習探新知
新知初探
已知x，y都是正數(shù)．
(1)若x＋y＝S(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最 值S24.
(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最 值2p.
上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．
初試身手
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝1a＋4b的最小值是( )
A.72 B．4 C.92 D．5
2．若x>0，則x＋2x的最小值是________．
3．設(shè)x，y∈N*滿足x＋y＝20，則xy的最大值為________．
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均值不等式及其應(yīng)用PPT，第三部分內(nèi)容：合作探究提素養(yǎng)
利用均值不等式求最值
【例1】(1)已知x<54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；
(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
[思路點撥] (1)看到求y＝4x－2＋14x－5的最值，想到如何才能出現(xiàn)乘積定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出現(xiàn)和為定值．
規(guī)律方法
利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得滿足均值不等式成立條件，即“一正、二定、三相等”.解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運用適當?shù)?ldquo;拆項、添項、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件.具體可歸納為三句話：若不正，用其相反數(shù)，改變不等號方向；若不定，應(yīng)湊出定和或定積；若不等，一般用后面第三章函數(shù)的基本性質(zhì)的知識解決.
利用均值不等式求條件最值
【例2】已知x＞0，y＞0，且滿足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．
規(guī)律方法
1．本題給出的方法，用到了均值不等式，并且對式子進行了變形，配湊出滿足均值不等式的條件，這是經(jīng)常使用的方法，要學會觀察、學會變形．
2．常見的變形技巧有：(1)配湊系數(shù)；(2)變符號；(3)拆補項．常見形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．
利用均值不等式解決實際問題
【例3】如圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．現(xiàn)有36 m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬分別設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？
[解]設(shè)每間虎籠長x m，寬y m，
則由條件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy.
規(guī)律方法
在應(yīng)用均值不等式解決實際問題時，應(yīng)注意如下思路和方法：
(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；
(4)正確寫出答案．
課堂小結(jié)
1．利用均值不等式求最值，要注意使用的條件“一正、二定、三相等”，三個條件缺一不可，解題時，有時為了達到使用均值不等式的三個條件，需要通過配湊、裂項、轉(zhuǎn)化、分離常數(shù)等變形手段，創(chuàng)設(shè)一個適合應(yīng)用均值不等式的情境．
2．不等式的應(yīng)用題大都與函數(shù)相關(guān)聯(lián)，在求最值時，均值不等式是經(jīng)常使用的工具，但若對自變量有限制，一定要注意等號能否取到.
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均值不等式及其應(yīng)用PPT，第四部分內(nèi)容：當堂達標固雙基
1．思考辨析
(1)兩個正數(shù)的積為定值，一定存在兩數(shù)相等時，它們的和有最小值．( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，則ab≤4.( )
(3)當x>1時，函數(shù)y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函數(shù)y的最小值是2xx－1.( )
2．若實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則ab的最大值為( )
A．1 B．22 C．2 D．4
3．已知0<x<1，則x(3－3x)取最大值時x的值為( )
A.12 B.34
C.23 D.25
4．已知x>0，求y＝2xx2＋1的最大值．
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