《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT(第1課時均值不等式)
第一部分內容:學習目標
理解算術平均值與幾何平均值的概念,掌握均值不等式及其推理過程
能夠運用均值不等式求函數或代數式的最值
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均值不等式及其應用PPT,第二部分內容:自主學習
問題導學
預習教材P72-P75的內容,思考以下問題:
1.正數a,b的算術平均值和幾何平均值是什么?
2.均值不等式的內容是什么?
3.均值不等式中的等號成立的條件是什么?
4.兩個正數的積為常數時,它們的和有什么特點?
5.兩個正數的和為常數時,它們的積有什么特點?
新知初探
1.算術平均值與幾何平均值
給定兩個正數a,b,數____________稱為a,b的算術平均值;數ab 稱為a,b的幾何平均值.
2.均值不等式
如果a,b都是正數,那么_______________,當且僅當a=b時,等號成立.
■名師點撥
(1)兩個不等式a2+b2≥2ab與a+b2≥ab成立的條件是不同的.前者要求a,b是實數即可,而后者要求a,b都是正實數(實際上后者只要a≥0,b≥0即可).
(2)兩個不等式a2+b2≥2ab和a+b2≥ab都是帶有等號的不等式,都是“當且僅當a=b時,等號成立”.
3.均值不等式與最值
已知x>0,y>0,則
(1)若x+y=s(和為定值),則當x=y(tǒng)時,積xy取得最_____值s24.
(2)若xy=p(積為定值),則當x=y(tǒng)時,和x+y取得最______值2p.
即:兩個正數的積為常數時,它們的和有______值;
兩個正數的和為常數時,它們的積有______值.
■名師點撥
利用均值不等式求最值,必須按照“一正,二定,三相等”的原則,即:
①一正:符合均值不等式a+b2≥ab成立的前提條件,a>0,b>0;
②二定:化不等式的一邊為定值;
③三相等:必須存在取“=”號的條件,即“=”號成立.
以上三點缺一不可.
自我檢測
判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對任意a,b∈R,a2+b2≥2ab均成立.( )
(2)若a>0,b>0且a≠b,則a+b>2ab.( )
(3)若a>0,b>0,則ab≤a+b22.( )
(4)a,b同號時,ba+ab≥2.( )
(5)函數y=x+1x的最小值為2.( )
如果a>0,那么a+1a+2的最小值是( )
A.2 B.22
C.3 D.4
不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提條件為( )
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
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均值不等式及其應用PPT,第三部分內容:講練互動
對均值不等式的理解
下列結論正確的是( )
A.若x∈R,且x≠0,則4x+x≥4
B.當x>0時,x+1x≥2
C.當x≥2時,x+1x的最小值為2
D.當0<x≤2時,x-1x無最大值
利用均值不等式直接求最值
(1)已知t>0,求y=t2-4t+1t的最小值;
(2)若實數x,y滿足2x+y=1,求xy的最大值.
規(guī)律方法
(1)若a+b=p(和為定值),當a=b時,積ab有最大值p24,可以用均值不等式ab≤a+b2求得.
(2)若ab=s(積為定值),則當a=b時,和a+b有最小值2s,可以用均值不等式a+b≥2ab求得.
不論哪種情況都要注意取得等號的條件是否成立.
利用均值不等式借助拼湊法求最值
(1)已知x>2,則y=x+4x-2的最小值為________.
(2)若x,y∈(0,+∞),且x+4y=1,則1x+1y的最小值為________.
求解策略
通過拼湊法利用均值不等式求最值的策略
拼湊法的實質在于代數式的靈活變形,拼系數、湊常數是關鍵,利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面:
(1)拼湊的技巧,以整式為基礎,注意利用系數的變化以及等式中常數的調整,做到等價變形.
(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標.
(3)拆項、添項應注意檢驗利用均值不等式的前提.
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均值不等式及其應用PPT,第四部分內容:達標反饋
1.下列不等式中,正確的是( )
A.a+4a≥4 B.a2+b2≥4ab
C.ab≥a+b2 D.x2+3x2≥23
2.若a>0,b>0,a+2b=5,則ab的最大值為( )
A.25 B.252
C.254 D.258
3.若a>1,則a+1a-1的最小值是( )
A.2 B.a
C.2aa-1 D.3
4.已知x,y為正實數,且x+y=4,求1x+3y的最小值.
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