《三角恒等變換》三角函數(shù)PPT課件(第4課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切公式)
第一部分內(nèi)容：學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1.能利用兩角和的正、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重點(diǎn))
2.能利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明．(難點(diǎn))
3.熟悉二倍角公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用．(易錯(cuò)點(diǎn))
核 心 素 養(yǎng)
1.通過公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
2.借助運(yùn)算求值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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三角恒等變換PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)探新知
新知初探
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
記法 公式
S2α sin 2α＝
C2α cos 2α＝
T2α tan 2α＝___________
2.余弦的二倍角公式的變形
3.正弦的二倍角公式的變形
(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝_________.
(2)1±sin 2α＝_________.
初試身手
1．下列各式中，值為32的是( )
A．2sin 15°cos 15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
2．sin 15°cos 15°＝________.
3.12－cos2π8＝________.
4．若tan θ＝2則tan 2θ＝________.
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三角恒等變換PPT，第三部分內(nèi)容：合作探究提素養(yǎng)
給角求值
【例1】 (1)cosπ7cos3π7cos5π7的值為( )
A.14 B．－14
C.18 D．－18
(2)求下列各式的值：
①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tan275°tan 75°；
④1sin 10°－3cos 10°.
規(guī)律方法
對(duì)于給角求值問題，一般有兩類：
1直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角.
2若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.
給值求值、求角問題
【例2】(1)已知cosα＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos2α＋π4的值；
(2)已知α∈－π2，π2，且sin 2α＝sinα－π4，求α.
[思路點(diǎn)撥]依據(jù)以下角的關(guān)系設(shè)計(jì)解題思路求解：
(1)α＋π4與2α＋π2，α－π4與2α－π2具有2倍關(guān)系，用二倍角公式聯(lián)系；
(2)2α＋π2與2α差π2，用誘導(dǎo)公式聯(lián)系．
規(guī)律方法
解決條件求值問題的方法
1有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn)，使關(guān)系明朗化；尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.
2當(dāng)遇到fπ4±x這樣的角時(shí)可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論溝通.
cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x.
化簡(jiǎn)證明問題
[探究問題]
1．解答化簡(jiǎn)證明問題時(shí)，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情況，通常要如何處理？
提示：通常要切化弦后再進(jìn)行變形．
2．證明三角恒等式時(shí)，通常的證明方向是什么？
提示：由復(fù)雜一側(cè)向簡(jiǎn)單一側(cè)推導(dǎo)．
規(guī)律方法
證明三角恒等式的原則與步驟
1觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，高次降低，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡(jiǎn)，即采用“兩頭湊”的思想.
2證明恒等式的一般步驟：
①先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；
②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.
課堂小結(jié)
1．對(duì)于“二倍角”應(yīng)該有廣義上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n＝2•α2n＋1(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的運(yùn)用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應(yīng)用廣泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos 2α2.
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三角恒等變換PPT，第三部分內(nèi)容：當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基
1．思考辨析
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)對(duì)于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )
[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式對(duì)任意角都是適用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋kπ(k∈Z)且α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此說法錯(cuò)誤．
(2)√.當(dāng)α＝kπ(k∈Z)時(shí)，sin 2α＝2sin α.
(3)×.當(dāng)cos α＝1－32時(shí)，cos 2α＝2cos α.
2．已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則( )
A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3
B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4
C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3
D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4
3．設(shè)sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，則tan 2α的值是________．
4．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
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