《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》一元二次函數(shù)、方程和不等式PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.
2.能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.
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二次函數(shù)與一元二次方程不等式PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
一、一元二次不等式的概念
1.從未知數(shù)的個(gè)數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特點(diǎn)?
提示:它們只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
2.填空
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念:我們把只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱(chēng)為一元二次不等式.
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解,一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.
3.做一做
已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④ >0.其中是一元二次不等式的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中當(dāng)a=0時(shí),它不是一元二次不等式;②中有兩個(gè)未知數(shù),它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
答案:A
二、一元二次不等式的解法
1.(1)什么叫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)?零點(diǎn)是點(diǎn)嗎?
提示:把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).零點(diǎn)不是點(diǎn),是一個(gè)實(shí)數(shù).零點(diǎn)就是函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根.
(2)二次函數(shù)y=x2-5x的圖象如圖所示.
當(dāng)x為何值時(shí),y=0?當(dāng)x為何值時(shí),y<0?當(dāng)x為何值時(shí),y>0.
上述各種情況下函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系?
提示:當(dāng)x=0或x=5時(shí),y=0.此時(shí)圖象與x軸交于兩個(gè)點(diǎn)(0,0)和(5,0);
當(dāng)0<x<5時(shí),y<0,函數(shù)圖象位于x軸下方,此時(shí)x2-5x<0;
當(dāng)x<0或x>5時(shí),y>0.此時(shí)函數(shù)圖象位于x軸上方,此時(shí)x2-5x>0.
(3)對(duì)任意的一元二次不等式,求解集的關(guān)鍵點(diǎn)有哪些?
提示:①拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸的位置情況,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況;②拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的開(kāi)口方向,也就是a的正負(fù).
(4)拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a>0)與x軸的相關(guān)位置有哪些情況?如何用一元二次方程來(lái)說(shuō)明這些位置關(guān)系?
提示:拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a>0)與x軸可能有兩個(gè)交點(diǎn)(相交),一個(gè)交點(diǎn)(相切),沒(méi)有交點(diǎn)(相離).可以通過(guò)對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式Δ與0的關(guān)系來(lái)判斷.
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二次函數(shù)與一元二次方程不等式PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析:先求出對(duì)應(yīng)一元二次方程的解,再結(jié)合對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象寫(xiě)出不等式的解集.
解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2,x2=2.
因?yàn)閷?duì)應(yīng)函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn),
所以原不等式的解集是{x├|x<"-" 1/2 "或" x>2}┤.
(2)不等式可化為3x2-6x+2<0.
因?yàn)?x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-√3/3,x2=1+√3/3.
因?yàn)楹瘮?shù)y=3x2-6x+2的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn),所以原不等式的解集是{x├|1"-" √3/3<x<1+√3/3}┤.
(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2,函數(shù)y=4x2-4x+1的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn),所以原不等式的解集是{x├|x=1/2}┤.
(4)因?yàn)閤2-2x+2=0的判別式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0無(wú)解.又因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x+2的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn),所以原不等式的解集為R.
反思感悟 解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)對(duì)不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.
(2)判別式.對(duì)不等式的左側(cè)進(jìn)行因式分解,若不能分解,則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.
(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程無(wú)實(shí)根.
(4)畫(huà)草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.
(5)寫(xiě)解集.根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集.
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二次函數(shù)與一元二次方程不等式PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
求不等式恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的常見(jiàn)方法
1.利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問(wèn)題.
設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則
f(x)>0恒成立⇔{■(a>0"," @Δ<0"," )┤f(wàn)(x)≥0恒成立⇔{■(a>0"," @Δ≤0"," )┤
f(x)<0恒成立⇔{■(a<0"," @Δ<0"," )┤f(wàn)(x)≤0恒成立⇔{■(a<0"," @Δ≤0"." )┤
當(dāng)未說(shuō)明不等式為一元二次不等式時(shí),有
(1)不等式ax2+bx+c>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立⇔{■(a=b=0"," @c>0)┤或{■(a>0"," @Δ<0";" )┤
(2)不等式ax2+bx+c<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立⇔{■(a=b=0"," @c<0)┤或{■(a<0"," @Δ<0"." )┤
2.分離自變量和參變量,利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
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二次函數(shù)與一元二次方程不等式PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.不等式x2-9<0的解集為( )
A.{x|x<-3} B.{x|x<3}
C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3<x<3}
解析:由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3.
答案:D
2.若不等式4x2+ax+4>0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-16,0) B.(-16,0]
C.(-∞,0) D.(-8,8)
解析:不等式4x2+ax+4>0的解集為R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8<a<8,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,8),故選D.
答案:D
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