《用二分法求方程的近似解》指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)
1.理解二分法的操作步驟與思想及理論依據(jù).
2.能夠借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解或求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
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用二分法求方程的近似解PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
一、二分法的概念
1.在一檔娛樂(lè)節(jié)目中,主持人讓選手在規(guī)定時(shí)間內(nèi)猜某物品的價(jià)格,若猜中了,就把物品獎(jiǎng)給選手.某次競(jìng)猜的物品為價(jià)格在800元~1 200元之間的一款手機(jī),選手開始報(bào)價(jià):
選手:1 000.
主持人:低了.
選手:1 100.
主持人:高了.
選手:1 050.
主持人:祝賀你,答對(duì)了.
(1)主持人說(shuō)“低了”隱含著手機(jī)價(jià)格在哪個(gè)范圍內(nèi)?
提示:(1 000,1 200].
(2)選手每次的報(bào)價(jià)值同競(jìng)猜前手機(jī)價(jià)格所在范圍有何關(guān)系?
提示:報(bào)價(jià)值為競(jìng)猜前手機(jī)價(jià)格所在范圍的中間值.
2.填空
對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.
3.判斷正誤
函數(shù)f(x)=|x|可以用二分法求其零點(diǎn). ( )
答案:×
4.做一做
下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn),其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是( )
解析:利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào).在選項(xiàng)B中,不滿足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn),由于選項(xiàng)A,C,D中零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào),故可采用二分法求函數(shù)零點(diǎn).
答案:B
二、用二分法求f(x)零點(diǎn)近似值的步驟
1.在上述猜物品價(jià)格的實(shí)例中,競(jìng)猜的過(guò)程是否有規(guī)律可循?
提示:競(jìng)猜過(guò)程歸結(jié)為:設(shè)原價(jià)為x,則(1)給定價(jià)格區(qū)間[a,b];(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;(3)若c>x,則在區(qū)間(a,c)內(nèi)競(jìng)猜;若c<x,則在區(qū)間(c,b)內(nèi)競(jìng)猜;(4)依次類推,直到猜出原價(jià)x.
2.填空
給定精確度ε,用二分法求f(x)零點(diǎn)x0的近似值的一般步驟如下:
(1)確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)<0;
(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;
(3)計(jì)算f(c),并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間;
若f(c)=0(此時(shí)x0=c),則c就是函數(shù)的零點(diǎn);
若f(a)f(c)<0(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c)),則令b=c;
若f(c)f(b)<0(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c,b)),則令a=c.
(4)判斷是否達(dá)到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點(diǎn)近似值a(或b),否則重復(fù)(2)~(4).
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用二分法求方程的近似解PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
二分法的概念
例1下列圖象表示的函數(shù)中,能使用二分法求零點(diǎn)的是( )
分析:利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件是:函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反,即穿過(guò)x軸,分析選項(xiàng)可得答案.
解析:能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù),在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反,由圖象可得,A、B、D不能滿足此條件.
答案:C
反思感悟 (1)二分法就是通過(guò)不斷地將所選區(qū)間一分為二,逐步逼近零點(diǎn)的方法,找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度,用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn).
(2)只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn).
變式訓(xùn)練1若二次函數(shù)f(x)=2x2+3x+m存在零點(diǎn),且能夠利用二分法求得此零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)
例2求函數(shù)f(x)=x2-5的負(fù)零點(diǎn)的近似值(精確度0.1).
分析:先確定f(-2)與f(-3)的符號(hào),再按照二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解.
解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取區(qū)間[-3,-2]作為計(jì)算的初始區(qū)間.用二分法逐次計(jì)算,列表如下:
反思感悟 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則及求解流程圖
1.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則:
(1)依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m,n](這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根,又要使其長(zhǎng)度盡可能的小,區(qū)間的端點(diǎn)盡量為整數(shù)).
(2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c,計(jì)算f(c),確定有解區(qū)間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”,直到區(qū)間的長(zhǎng)度符合精確度要求(這個(gè)過(guò)程中應(yīng)及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)差的絕對(duì)值是否達(dá)到給定的精確度),才終止計(jì)算,得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值(為了比較清晰地表達(dá)計(jì)算過(guò)程與函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間往往采用列表法).
2.利用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的流程圖:
延伸探究如本例中的精確度改為0.2呢?
解:由【例2】的表格可知,區(qū)間(-2.25,-2)的長(zhǎng)度為|-2-(-2.25)|=0.25>0.2;
而區(qū)間(-2.25,-2.125)的長(zhǎng)度|-2.125-(-2.25)|=0.125<0.2,所以這個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值就可以作為其近似值,所以其近似值可取-2.125.
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用二分法求方程的近似解PPT，第四部分內(nèi)容：思想方法
轉(zhuǎn)化與化歸思想在二分法中的應(yīng)用
典例 求∛2的近似值(精確度0.01).
【審題視角】 設(shè)x=∛2→∛2就是方程x3-2=0的根→∛2就是函數(shù)y=x3-2的零點(diǎn)
解:設(shè)x=∛2,則x3-2=0.令f(x)=x3-2,
則函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值就是∛2的近似值.
以下用二分法求其零點(diǎn)的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取區(qū)間[1,2]為計(jì)算的初始區(qū)間.用二分法逐步計(jì)算,列表如下:
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用二分法求方程的近似解PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖,其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及可以用二分法求其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
解析:由題圖知函數(shù)f(x)與x軸有4個(gè)公共點(diǎn),因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,從左往右數(shù)第4個(gè)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào),因此不能用二分法求該零點(diǎn),而其余3個(gè)均可使用二分法來(lái)求.故選D.
答案:D
2.用二分法求函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的近似零點(diǎn)時(shí)的初始區(qū)間是( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-3,-2)
解析:本題考查對(duì)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的理解及初始區(qū)間的選擇.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,∴f(1)f(2)<0.
又函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的定義域?yàn)镽,
故f(x)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值所在的初始區(qū)間為(1,2).
答案:B
3.用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似解時(shí),經(jīng)計(jì)算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一個(gè)近似解為_______________.(精確度0.1)
解析:∵0.605-0.532=0.073<0.1,∴(0.532,0.605)內(nèi)的值都可以作為方程精確度為0.1的一個(gè)近似解.
答案:0.532(答案不唯一)
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