《平面向量及其線性運(yùn)算》平面向量初步PPT(數(shù)乘向量 向量的線性運(yùn)算)
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.了解數(shù)乘向量的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.
2.理解并掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算律,會(huì)進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算.
3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法,并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)向量共線問題.
4.會(huì)利用向量的加法、減法與數(shù)乘進(jìn)行線性運(yùn)算.
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平面向量及其線性運(yùn)算PPT，第二部分內(nèi)容：課前篇自主預(yù)習(xí)
一、數(shù)乘向量
1.填空.
定義實(shí)數(shù)λ與向量a相乘的運(yùn)算
記法λa
長度|λa|=|λ||a|
方向
λ>0方向與a的方向相同
λ<0方向與a的方向相反
2.數(shù)乘的幾何意義是什么?
提示:向量的數(shù)乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向擴(kuò)大或縮小.當(dāng)λ>0時(shí),沿著a的方向擴(kuò)大(λ>1)或縮小(0<λ<1)λ倍;當(dāng)λ<0時(shí),沿著a的反方向擴(kuò)大(|λ|>1)或縮小(|λ|<1)|λ|倍.
3.做一做:思考辨析
(1)對(duì)于任意的向量a,總有0·a=0.( )
(2)當(dāng)λ>0時(shí),|λa|=λa.( )
(3)若a≠0,λ≠0,則a與-λa的方向相反.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
解析:(1)0·a=0;(2)|λa|=λ|a|(λ>0).(3)當(dāng)λ<0時(shí),-λ>0,a與-λa的方向相同.
二、數(shù)乘向量與線性運(yùn)算律
1.填空.
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.如何理解向量數(shù)乘的運(yùn)算律?
提示:(1)向量數(shù)乘運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律很相似,只是向量數(shù)乘分配律由于因子的不同,可分為(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb.
(2)向量數(shù)乘運(yùn)算律的理論依據(jù)是兩個(gè)向量相等的定義.所以證明此運(yùn)算律的關(guān)鍵,是證明等式兩邊向量的模相等且方向相同.并對(duì)各種可能的情況,做全面的討論.
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平面向量及其線性運(yùn)算PPT，第三部分內(nèi)容：課堂篇探究學(xué)習(xí)
向量的線性運(yùn)算
例1化簡下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(3)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析:根據(jù)向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算化簡即可.
解:(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(3)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.
反思感悟向量數(shù)乘運(yùn)算的方法總結(jié)
(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).
(2)向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解代數(shù)方程的方法求解,同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察,恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律,簡化運(yùn)算.
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平面向量及其線性運(yùn)算PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
向量共線問題——數(shù)學(xué)方法
典例已知非零向量e1,e2不共線,如果(AB) =e1+2e2,(BC) =-5e1+6e2,(CD) =7e1-2e2,則共線的三個(gè)點(diǎn)是___________.
分析:將三點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題,例如(AB) ∥(BD) 可推出A,B,D三點(diǎn)共線.
解析:∵(AB) =e1+2e2,(BD) =(BC) +(CD) =-5e1+6e2+7e1-2e2
=2(e1+2e2)=2(AB) ,
∴(AB) ,(BD) 共線,且有公共點(diǎn)B.
∴A,B,D三點(diǎn)共線.
答案:A,B,D
變式訓(xùn)練已知m,n是不共線向量,a=3m+4n,b=6m-8n,判斷a與b是否共線.
解:若a與b共線,則存在λ∈R,使a=λb,
即3m+4n=λ(6m-8n).
∵m,n不共線,∴{■(6λ=3"," @"-" 8λ=4"." )┤
∵不存在λ同時(shí)滿足此方程組,∴a與b不共線.
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平面向量及其線性運(yùn)算PPT，第五部分內(nèi)容：當(dāng)堂檢測(cè)
1.已知點(diǎn)D是△ABC所在平面上一點(diǎn),滿足(BD) =1/4 (DC) ,則(AD) =( )
A.1/4 (AB) +3/4 (AC) B.3/4 (AB) +1/4 (AC)
C.4/5 (AB) +1/5 (AC) D.1/5 (AB) +4/5 (AC)
2.已知△ABC和點(diǎn)M滿足(MA) +(MB) +(MC) =0.若存在實(shí)數(shù)m使得(AB) +(AC) =m(AM) 成立,則m的值為__________.
3.如圖,在△ABC中,(AD) =2/3 (AC) ,(BP) =1/3 (PD) ,若(AP) =λ(AB) +μ(AC) ,則λ+μ的值為( )
A.11/12 B.3/4 C.8/9 D.7/9
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