《周期性、奇偶性》三角函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.通過具體問題了解周期函數的概念,并能舉出一些具有周期現象的實例.
2.理解正弦函數與余弦函數的周期性,會求函數的周期.
3.理解三角函數的奇偶性以及對稱性,會判斷給定函數的奇偶性.
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周期性奇偶性PPT，第二部分內容：自主預習
一、周期函數
1.由正弦函數的圖象可知,正弦曲線每相隔2π個單位重復出現,這一規(guī)律的理論依據是什么?設f(x)=sin x,則sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可以怎樣表示?
提示:sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z);f(x+2kπ)=f(x).
2.填空
周期函數的定義:對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數y=f(x)叫做周期函數,非零常數T叫做這個函數的周期.
3.周期函數的周期是否唯一?正弦函數的周期有哪些?是否存在最小的一個?是否存在一個最小的正的周期?
提示:周期函數的周期不唯一;正弦函數的周期為2kπ(k∈Z,k≠0);不存在最小的一個;存在一個最小的正的周期2π.
4.填空
最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.在沒有特殊說明的情況下,三角函數的周期均是指它的最小正周期.
5.做一做
(1)若函數f(x)滿足f(x+3)-f(x)=0,則函數f(x)是周期為_________的周期函數.
(2)若函數f(x)的最小正周期是4,則必有f(x+8)________f(x)(填“=”或“≠”).
解析:(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期為3的周期函數.
(2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x).
答案:(1)3 (2)=
二、正弦函數與余弦函數的周期性
1.就周期性而言,對正弦函數有什么結論?對余弦函數呢?
提示:正弦函數是周期函數,最小正周期是2π;余弦函數也是周期函數,最小正周期也是2π.
2.填空
(1)正弦函數y=sin x是周期函數,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(2)余弦函數y=cos x是周期函數,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
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周期性奇偶性PPT，第三部分內容：探究學習
求三角函數的周期
例1求下列三角函數的周期:
(1)y=3sin x,x∈R;
(2)y=cos 2x,x∈R;
(3)y=sin(1/3 x"-" π/4),x∈R;
(4)y=|cos x|,x∈R.
分析:對于(1)(2)(3),可用公式法求周期;對于(4),可借助函數圖象觀察求得周期.
解:(1)3sin(x+2π)=3sin x,由周期函數的定義知,y=3sin x的周期為2π.
(2)cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函數的定義知,y=cos 2x的周期為π.
(3)sin[1/3 "(" x+6π")-" π/4]=sin(1/3 x+2π"-" π/4)=sin(1/3 x"-" π/4),由周期函數的定義知,y=sin(1/3 x"-" π/4)的周期為6π.
(4)y=|cos x|的圖象如圖(實線部分)所示,
由圖象可知,y=|cos x|的周期為π.
反思感悟 求函數最小正周期的常用方法
求三角函數的周期,一般有兩種方法:(1)公式法,即先將函數化為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用T=2π/("|" ω"|" )求得;(2)圖象法,利用變換的方法或作出函數的圖象,通過觀察得到最小正周期.
三角函數奇偶性及其應用
例2判斷下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=|sin x|+cos x;
(2)f(x)=sin(3x/4+3π/2);
(3)f(x)=(1+sinx"-" cos^2 x)/(1+sinx).
分析:求定義域→判斷定義域是否關于原點對稱→看f(-x)與f(x)的關系→確定奇偶性
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周期性奇偶性PPT，第四部分內容：思維辨析
對周期函數的概念理解不清致誤
典例 下列說法中,正確的有________.(填序號)
①函數f(x)=sin(2x+π/3),x∈[-π,π]是周期函數;
②函數f(x)=sin|x|,x∈R是周期函數;
③函數y=|sin(x+π/2)|的最小正周期為π;
④若函數y=2sin(ωx+π/6)的最小正周期為4π,則ω=1/2.
錯解①②③④
本題錯在什么地方?你能發(fā)現嗎?怎樣避免這類錯誤呢?
提示:根據周期函數的定義、三角函數的圖象以及三角函數周期公式對各個命題加以判斷.
正解:對于①,由于函數定義域為[-π,π],故函數不是周期函數,該命題錯誤;對于②,畫出函數y=sin|x|的圖象,由圖象可知,函數不是周期函數,該命題錯誤;對于③,y=|sin(x+π/2)|=|cos x|,由圖象可知函數周期為π,該命題正確;對于④,依題意應有2π/("|" ω"|" )=4π,故ω=±1/2,該命題錯誤.
答案:③
防范措施 研究三角函數的周期時,注意從函數的定義域、解析式以及圖象等多方面進行分析,如果通過公式不易求出函數周期,可以通過觀察函數圖象來確定函數的周期,特別是含有絕對值符號的函數.
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周期性奇偶性PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.函數f(x)=sin(-x)的奇偶性是( )
A.奇函數 B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數 D.非奇非偶函數
解析:因為x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數.
答案:A
2.函數f(x)=cos(π/6 "-" 3x)的最小正周期為( )
A.2π B.12 C.2π/3 D.3π
解析:因為f(x)=cos(π/6 "-" 3x)=cos(3x"-" π/6),
所以最小正周期為T=2π/3.
答案:C
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