《集合間的基本關(guān)系》集合與常用邏輯用語(yǔ)PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.理解子集、真子集的概念及集合相等的含義.
2.掌握子集、真子集及集合相等的應(yīng)用,會(huì)判斷集合間的基本關(guān)系.
3.在具體情境中了解空集的含義并會(huì)應(yīng)用.
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集合間的基本關(guān)系PPT，第二部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
一、子集與真子集
1.觀察下面實(shí)例:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
②設(shè)A為新華中學(xué)高一(2)班全體女生組成的集合,B為這個(gè)班全體學(xué)生組成的集合;
③設(shè)A={x|x是兩條邊相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};
④A={x|x是長(zhǎng)方形},B={x|x是平行四邊形};
⑤A={x|x>3},B={x|x>2};
⑥A={x|(x+1)(x+2)=0},B={-1,-2}.
(1)上面的每個(gè)例子中的兩個(gè)集合,集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素嗎?
提示:是.稱集合A是集合B的子集.
(2)反過(guò)來(lái),上述各對(duì)集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素嗎?
提示:③⑥兩對(duì)集合中,集合B中的元素也都是集合A中的元素(集合相等);①②④⑤這四對(duì)集合中,集合B中有些元素不是集合A的元素.稱集合A是集合B的真子集.
(3)上述集合A,B的關(guān)系能不能用圖形直觀形象地表示出來(lái)?
提示:能.如圖,在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.
(4)Venn圖有什么要求?必須是橢圓形嗎?
提示:表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是矩形、圓、橢圓等,也可以是其他封閉曲線.
(5)用Venn圖表示集合有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)?
提示:優(yōu)點(diǎn)在于易產(chǎn)生清晰的視覺(jué)印象,能直觀地表示集合中元素的構(gòu)成以及集合之間的關(guān)系,缺點(diǎn)在于集合中元素的公共特征性質(zhì)不明顯.
2.填空
3.做一做
(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},則( )
A.P∈Q B.P⊆Q C.Q⊆P D.Q∈P
(2)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},則( )
A.B⫋A B.A⫋B C.B<A D.A<B
(1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以Q⊆P.
答案:C
(2)解析:由題意結(jié)合集合在數(shù)軸上的表示確定兩集合的關(guān)系即可.如圖所示,由圖可知,B⫋A.
答案:A
二、集合相等
1.(1)在子集的定義中,能否理解為子集A是集合B中的“部分元素”所組成的集合?
提示:不能.A中可能含有B中的所有元素(也可能不含任何元素).
(2)本書(shū)1.1中,我們是如何定義兩個(gè)集合相等的?
提示:只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.
(3)本課時(shí)“一”中提出的各對(duì)集合中,③⑥這兩對(duì)集合中的元素一樣嗎?它們之間存在什么樣的包含關(guān)系?
提示:③中,由于“兩條邊相等的三角形”即等腰三角形,因此,集合A中任何一個(gè)元素都是集合B中的元素,則A是B的子集;同時(shí),集合B中的任何一個(gè)元素都是集合A中的元素,則B也是A的子集,即A和B兩集合中的元素都是相同的.也就是說(shuō)集合A與B相等.同理可以說(shuō)明⑥中兩個(gè)集合的元素也完全相同,即兩集合相等.
2.填空
一般地,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作A=B.
也就是說(shuō),若A⊆B,且B⊆A,則A=B.
3.做一做
已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,則m的值為_(kāi)________.
解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.
當(dāng)m=-1時(shí)不滿足集合中元素的互異性,舍去.
故m=0.
答案:0
三、空集
1.(1)觀察下面四個(gè)集合:①方程x2+1=0的實(shí)數(shù)根組成的集合;②不等式3x2+2<0的解組成的集合;③比5大1的負(fù)數(shù)組成的集合;④邊長(zhǎng)分別為1,1,4的三角形組成的集合.它們有什么共同特點(diǎn)?你還能舉出類似的例子嗎?
提示:這4個(gè)集合中沒(méi)有適合條件的元素.即集合中沒(méi)有任何元素.
(2)一座房子內(nèi)沒(méi)有任何東西,我們稱這座房子是空房子,那么一個(gè)集合沒(méi)有任何元素,應(yīng)該如何命名呢?
提示:空集.
(3)空集與任何集合之間有什么關(guān)系?與非空集合呢?
提示:規(guī)定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
2.填空
一般地,我們把不含有任何元素的集合叫做空集,記為⌀,并規(guī)定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.
3.做一做
下列四個(gè)集合中,是空集的是( )
A.{0} B.{x|x>8且x<5}
C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}
答案:B
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集合間的基本關(guān)系PPT，第三部分內(nèi)容：例題解析
寫出給定集合的子集
例1 (1)寫出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
(2)填寫下表,并回答問(wèn)題:
由此猜想:含n個(gè)元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個(gè)數(shù)是多少?真子集的個(gè)數(shù)及非空真子集的個(gè)數(shù)呢?
分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一個(gè)元素、含有兩個(gè)元素、含有三個(gè)元素這四種情況分別寫出子集.(2)由特殊到一般,歸納得出.
解:(1)不含任何元素的子集為⌀;
含有一個(gè)元素的子集為{0},{1},{2};
含有兩個(gè)元素的子集為{0,1},{0,2},{1,2};
含有三個(gè)元素的子集為{0,1,2}.
故集合{0,1,2}的所有子集為⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.
(2)由此猜想:含n個(gè)元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個(gè)數(shù)是2n,真子集的個(gè)數(shù)是2n-1,非空真子集的個(gè)數(shù)是2n-2.
反思感悟 1.分類討論是寫出所有子集的有效方法,一般按集合中元素個(gè)數(shù)的多少來(lái)劃分,遵循由少到多的原則,做到不重不漏.
2.若集合A中有n個(gè)元素,則集合A有2n個(gè)子集,有(2n-1)個(gè)真子集,有(2n-1)個(gè)非空子集,有(2n-2)個(gè)非空真子集,該結(jié)論可在選擇題或填空題中直接使用.
變式訓(xùn)練1若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同時(shí)集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
答案:B
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集合間的基本關(guān)系PPT，第四部分內(nèi)容：思想方法
分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想在解決集合含參問(wèn)題中的應(yīng)用
對(duì)于兩個(gè)集合A與B,已知A或B中含有待確定的參數(shù)(字母),若A⊆B或A=B,則集合B中的元素與集合A中的元素具有“包含關(guān)系”,解決這類問(wèn)題時(shí)常采用分類討論和數(shù)形結(jié)合的方法.
(1)分類討論是指:
①A⊆B在未指明集合A非空時(shí),應(yīng)分A=⌀和A≠⌀兩種情況來(lái)討論.
②因?yàn)榧现械脑厥菬o(wú)序的,由A⊆B或A=B得到兩集合中的元素對(duì)應(yīng)相等的情況可能有多種,因此需要分類討論.
(2)數(shù)形結(jié)合是指對(duì)A≠⌀這種情況,在確定參數(shù)時(shí),需要借助數(shù)軸來(lái)完成,將兩個(gè)集合在數(shù)軸上畫出來(lái),分清實(shí)心點(diǎn)與空心圈,確定兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系,列不等式(組)確定參數(shù).
特別提醒 此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)有三個(gè):①忽略A=⌀的情況,沒(méi)有分類討論;②在數(shù)軸上畫兩個(gè)集合時(shí),沒(méi)有分清實(shí)心點(diǎn)與空心圈;③沒(méi)有弄清包含關(guān)系,以致沒(méi)有正確地列出不等式或不等式組.
(3)解決集合中含參問(wèn)題時(shí),最后結(jié)果要注意驗(yàn)證.驗(yàn)證是指:
①分類討論求得的參數(shù)的值,還需要代入原集合中看是否滿足互異性.
②所求參數(shù)能否取到端點(diǎn)值需要單獨(dú)驗(yàn)證.
典題已知集合A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},是否存在實(shí)數(shù)a,使得A⊆B.若存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論,寫出集合A、B,借助于數(shù)軸,求出a的取值范圍.
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集合間的基本關(guān)系PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.集合{x,y}的子集個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:(法1)集合{x,y}的子集有⌀,{x},{y},{x,y},共有4個(gè).
(法2)集合內(nèi)有2個(gè)元素,子集個(gè)數(shù)為22=4個(gè).
答案:D
2.下列正確表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}關(guān)系的Venn圖是( )
解析:由N={-1,0},知N⫋M,故選B.
答案:B
3.已知集合C={x|x是奇數(shù)},D={x|x是整數(shù)},則C_________D.
解析:一個(gè)數(shù)如果是奇數(shù),它一定是整數(shù);反過(guò)來(lái),整數(shù)未必是奇數(shù).所以C⫋D.
答案:⫋
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