《習題課——函數單調性與奇偶性的綜合應用》函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.掌握利用函數奇偶性求函數解析式的方法.
2.理解并運用函數的單調性與奇偶性解決比較大小、求最值、解不等式等綜合問題.
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習題課函數單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第二部分內容：自主預習
知識點、函數的單調性與奇偶性
1.填空.
(1)函數的奇偶性是函數定義域上的概念,而函數的單調性是區(qū)間上的概念,因此在判定函數的單調性的時候,一定要指出函數的單調區(qū)間.
(2)在定義域關于原點對稱的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函數都是奇函數;f(x)=x2n(n∈Z)型函數及常數函數都是偶函數.
(3)設f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,則它們在公共定義域上,滿足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.
(4)若f(x)為奇函數,且在區(qū)間[a,b](a<b)上是增(減)函數,則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上是增(減)函數;若f(x)為偶函數,且在區(qū)間[a,b](a<b)上是增(減)函數,則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上是減(增)函數,即奇函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相同;而偶函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相反.
(5)若f(x)為奇函數,且在x=0處有定義,則f(0)=0;若f(x)為偶函數,則f(x)=f(-x)=f(|x|).
2.做一做
(1)若函數f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數,則f(x)( )
A.在[1,7]上是增函數
B.在[-7,2]上是增函數
C.在[-5,-3]上是增函數
D.在[-3,3]上是增函數
(2)若奇函數f(x)滿足f(3)<f(1),則下列各式中一定成立的是( )
A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1)
C.f(-2)<f(3) D.f(-3)<f(5)
(3)定義在R上的偶函數f(x),對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有(f"(" x_1 ")-" f"(" x_2 ")" )/(x_1 "-" x_2 )<0,則f(3),f(-2),f(1)按從小到大的順序排列為_______.
解析:(1)因為函數f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數,所以m=1.
所以f(x)=-x2+2,結合函數f(x)可知選C.
(2)因為f(x)是奇函數,
所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).
又f(3)<f(1),所以-f(-3)<-f(-1),
所以f(-3)>f(-1).
(3)由已知條件可知f(x)在[0,+∞)內單調遞減,
∴f(3)<f(2)<f(1).
再由偶函數性質得f(3)<f(-2)<f(1).
答案:(1)C (2)A (3)f(3)<f(-2)<f(1)
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習題課函數單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第三部分內容：探究學習
利用函數的奇偶性求解析式
例1 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-2x2+3x+1,求:
(1)f(0);
(2)當x<0時,f(x)的解析式;
(3)f(x)在R上的解析式.
分析:(1)利用奇函數的定義求f(0);
(2)設x<0 -x>0 x>0的解析式 求f(x)
解:(1)因為函數f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(-0)=-f(0),
即f(0)=0.
(2)當x<0時,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函數,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.
(3)函數f(x)在R上的解析式為
f(x)={■("-" 2x^2+3x+1"," x>0"," @0"," x=0"," @2x^2+3x"-" 1"," x<0"." )┤
反思感悟利用函數奇偶性求解析式的注意事項
1.在哪個區(qū)間求解析式,就把“x”設在哪個區(qū)間;
2.利用已知區(qū)間的解析式進行代入;
3.利用f(x)的奇偶性把f(-x)寫成-f(x)或f(x),從而解出f(x);
4.定義域為R的奇函數滿足f(0)=0.
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習題課函數單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第四部分內容：思想方法
化歸思想在解抽象不等式中的應用
典例 已知函數f(x)的定義域為(-1,1),且滿足下列條件:①f(x)為奇函數;②f(x)在定義域上單調遞減;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求實數a的取值范圍.
思路點撥:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求實數a的取值范圍,應利用函數f(x)的奇偶性與單調性去掉“f”,建立關于a的不等式組求解.
解:∵f(x)是奇函數,
∴f(1-a2)=-f(a2-1).
∴f(1-a)+f(1-a2)<0⇒f(1-a)<-f(1-a2)⇒f(1-a)<f(a2-1).
∵f(x)在定義域(-1,1)內是單調遞減的,
∴{■(1"-" a>a^2 "-" 1"," @"-" 1<1"-" a<1"," @"-" 1<a^2 "-" 1<1"," )┤解得0<a<1.
∴a的取值范圍為(0,1).
方法點睛1.本題的解答充分體現了化歸思想的作用,將抽象不等式借助函數的性質轉化成為具體不等式,問題從而解決.
2.當然本題中還要注意以下化歸與計算等細節(jié)易錯問題:
(1)由函數f(x)為奇函數,將不等式f(1-a)+f(1-a2)<0等價變形時出錯;
(2)利用函數f(x)單調遞減去掉“f”,建立關于a的不等式組時,因忽略函數f(x)的定義域出錯;
(3)解錯不等式(組)或表示a的取值范圍出錯.
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習題課函數單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第五部分內容：課堂練習
1.設f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,且f(4)>f(1),則下列各式一定成立的是( )
A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3)
C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4)
解析:∵f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,
∴f(-1)=f(1).
又f(4)>f(1),
∴f(4)>f(-1).
答案:D
2.已知x>0時,f(x)=x-2 019,且知f(x)在定義域R上是奇函數,則當x<0時,f(x)的解析式是( )
A.f(x)=x+2 019
B.f(x)=-x+2 019
C.f(x)=-x-2 019
D.f(x)=x-2 019
解析:設x<0,則-x>0,所以f(-x)=-x-2 019.
又因為f(x)是奇函數,所以f(x)=-f(-x)=x+2 019.故選A.
答案:A
3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=________.
解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,
∴25+a·23+2b=-18.
∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.
答案:-26
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